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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学高等代数}}
\author{陈佳颖}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\section*{2013年高等代数}
\begin{problem}[本题满分15分]
计算行列式
$$
D_n=\begin{vmatrix}a_1&1&1&\cdots&1\\ 1&a_2&1&\cdots&1\\ 1&1&a_3&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&\cdots&a_n\end{vmatrix}
$$
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]
设数域$P$上的矩阵
$$
A=\left(\begin{matrix}0&0&1\\ 0&2&0\\ 3&0&0\end{matrix}\right)
$$
所有与$A$乘积可交换的矩阵集合$S=\left\{X|A X=X A\right\}$是数域$P$上的一个向量空间，求$S$的维数。并给它一组基.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]
证明：两个正定矩阵$A,B$之积仍为正定矩阵的充分必要条件是$AB=BA$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分20分]\\
1、平面直角坐标系中，单位圆上$m$个点$A_{1},A_{2},\cdots,A_{m}$将单位圆周$m$等分，$n$个点$B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$将单位圆周$n$等分，且$A_{1},B_{1}$两点的坐标均为$(1,0)$,问单位圆上点的集合$\{A_{1},\cdots,A_{m}\}\cup\{B_{1},\cdots,B_{n}\}$中共含有多少个两两不同的点.\\
2、设多项式$f\left(x\right)=x^{m}+x^{m-1}+\cdots+x+1,g\left(x\right)=x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1$,试给出两个多项式互素的充分必要条件（这个条件是指$m,n$满足何种关系），并证明这个结论。
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分25分]
设$A$是一个$m\times n$矩阵，$B$是一个$s\times t$矩阵，$C$是一个$m\times t$矩阵，证明：存在一个$n\times s$矩阵$X$满足$AXB=C$的充分必要条件是
$$
r(A)=r(A\vdots C),r(B)=r\begin{pmatrix}B\\ C\end{pmatrix}
$$
这里$r(A)$表示矩阵$A$的秩，$(A \vdots C)$是由矩阵$A$和矩阵$C$拼成的$m\times(n+t)$矩阵.
\end{problem}
\begin{problem}[本题满分30分]
设$A$是一个$n$级方阵，证明：\\
1、若$A^2=A$,则$r(A)+r(A-E)=n$.\\
2、设两个多项式$f(x)$与$g(x)$互素，证明：$r(f(A))+r(g(A))\geq n$\\
3、若$r\left(A\right) =r(A^{2})+1$,证明：
$$
r(A^3)\geq r(A^2)-1
$$
\end{problem}
\begin{problem}[本题满分30分]\\
1、设$W_{1},W_{2}$是数域$P$上$n(n\geq2)$维线性空间$V$的两个真子空间，证明：存在向量$\alpha\in V$,但$\alpha\notin W_1,\alpha\notin W_2$.\\
2、设$W$是数域$P$上$n(n\geq2)$维线性空间$V$的一个$m(0<m<n)$维子空间，证明：存在两个$n-m$维子空间$U_{1},U_{2}$,满足
$$
V=W+U_{i},i=1,2,且U_{1}\bigcap U_{2}=\{0\}
$$
的充分必要条件是$\begin{aligned}
&& \\
&&m\geq\frac{n}{2} 
\end{aligned}$
\end{problem}
\end{document}